2018年女方小珍婚内出轨了男方小雷，并生下一个小孩小宇。小宇由生父小雷抚养了4年，小珍自己家中有一儿一女。期间小宇迟迟上不了户口，有出生证明。这四年期间，小雷自己也重新组建了家庭，但小宇逐渐长大，读书什么的没有户口很不方便，小雷多次联系小珍，让她来签字，然后小孩可以上户口，但小珍听闻小雷有家庭就拒绝了，说不会让小雷那么好过，不想那么轻易就签字，她开口要求小雷付十万块才来签字。请问小孩子没有生母的签字，还能通过什么证明来上户口？然后小珍自己有一儿一女，小宇又是婚内出轨才生的小宇，以后如果她来争小宇的，会不会把孩子抚养权判给小珍